丢番图经常会遇到一些有趣的问题。花一定的钱买不同的各种价钱的东西，总共有几种买法。能不能有效的把所有可以的买法全部都计算出来？

中国的《张建丘算经》里就是一个这个问题：1公鸡值1钱，1母鸡值3钱，3小鸡值1钱。有一百钱可以怎么买这些鸡？张建丘发现了这几种答案：公鸡、母鸡和小鸡的比例会有4:18:78，又有8:11:81，又有12:4:84这三种答案。这当然是张建丘一个个试出来的。

“分数肯定是不行的，很多东西不能分成几半，所有东西上必须是整数。肯定不能是分数。”丢番图是一个不喜欢分数的人，认为用分数解方程不能解决所有问题。

所以丢番图喜欢写出不定方程来，去计算这个方程的所有整数解。步骤是：1.判断何时有解。2.有解时决定解的个数。3.求出所有的解。

可是究其一生丢番图的发现也没有让自己的不定方程能解的更快，其中办法只有穷举法或者是穷举法的各种延伸。

都约两千年后的1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（Matiyasevich's theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式是否有解，甚至，在任何相容于皮亚诺算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。

丢番图方程不那么容易解的事情，就算是一个结束了。

到了后来的贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等都是丢番图的问题。都无法用简单的办法可以解出。